lunes, 28 de mayo de 2012

Funciones polinómicas:

Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.
Ejemplos de funciones polinómicas son:

, la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.

, que es una función polinómica de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

, que es de grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el 6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las intersecciones con los ejes y la factorización de la función polinomial tienen una estrecha relación.
La gráfica de las funciones polinómicas depende del grado de la función. Las funciones polinómicas de ciertos grados tienen ciertas alternativas de gráfica. Queda a este curso de derivadas averiguar algunas de las características de las funciones para poder predecir su comportamiento.
Muchas veces a partir de la gráfica de un polinomio se puede deducir la ecuación de la función. Ésto se puede hacer a partir de las intersecciones con los ejes. (Conste que comenté, que muchas veces, NO SIEMPRE).
Una función polinómica con el más alto número de intersecciones con el eje "x" permisible, es aquella que se puede determinar su gráfica y su ecuación.
Una función de, por ejemplo, tercer grado puede tener como máximo 3 intersecciones con el eje "x".
Una función de sexto grado puede tener como máximo 6 intersecciones con el eje "x".
Cabe aclarar, que las funciones polinómicas, aunque no conozcamos ahora los términos específcos, son funciones continuas,sin asíntotas verticales, ni horizontales, que según el grado pueden presentar máximos, mínimos y puntos de inflexión.

Gráfica de una función constante

Interpretación gráfica de una función lineal.

domingo, 27 de mayo de 2012

Identificar a una función polinomial

Explicación de como identificar una función polinomial.

Gráfica de una función cuadrática

Para poder identificar una función cuadrática

Concepto de función polinomial

Para una mejor comprensión de las funciones polinomiales.

Función racional

En matemáticas, una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Ejemplo

$f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ si el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.

Propiedades

Toda función racional es de clase $C^\infty$ en un dominio que no incluya las raíces del polinomio Q(x).
Todas las funciones racionales en las que el grado de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas).

Integración de las Funciones

Dada una función racional:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f_i(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma $\scriptstyle F_i(x)$ :

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.

Función polinómica

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

$f:x \mapsto P(x)\,$

donde $P(x)\,$ es un polinomio definido para todo número real $x\,$ ; es decir, una suma finita de potencias de $x\,$ multiplicados por coeficientes reales, de la forma:¹

$P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$

Funciones polinomicas básicas:
Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado	Nombre	Expresión
0	función constante	y = a
1	función lineal	y = ax + b es un binomio del primer grado
2	función cuadrática	y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado
3	función cúbica	y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

c_2.html

Función Lineal

Se la llama función lineal a toda función que cumple la forma:

f(x)= mx + b

Donde "m" es la pendiente de la X, y "b" es la variable independiente, que no depende de la X.

La gráfica de una función siempre es una recta. esta recta corta al eje de Y en un punto,

en el cual X vale 0, y este punto es igual a "b", o sea la variable independiente.

Por ejemplo:

f(x) = 3x + 2 f(0) = 3*0 + 2 f(0) = 2 ==> la recta corta al eye Y en punto (0;2)

La pendiente indica la inclinaciómn la recta,

y hacia qué lado va a estar inclinada.

Función Cuadrática

Una función cuadrática es de la forma:

$F(x)= ax^2 + bx + c$

Donde:

"a" es la variable dependiente del termino cuadrático,
además es el término principal
y a diferencia de las otras ésta no puede ser nula.
"b" es la variable dependiente del termino lineal.
"c" es el termino independiente,
a su vez es la ordenada al origen, o sea, la f(0).

La gráfica de una función cuadrática es una parábola

y su representación es una curva como la imagen dada.

"a" modifica la abertura de la parábola,

si es negativo la parábola "mira para abajo"

y si es positiva "mira para arriba".

Esta función puede sufrir traslaciones.

lunes, 28 de mayo de 2012

Información de las funciones

Funciones polinómicas:

Gráfica de una función constante

Interpretación gráfica de una función lineal.

domingo, 27 de mayo de 2012

Identificar a una función polinomial

Gráfica de una función cuadrática

Concepto de función polinomial

Función racional

Función polinómica

Funciones polinomicas básicas:
Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Funciones constantes

Rectas verticales

Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

Función Lineal

Datos personales

lunes, 28 de mayo de 2012

domingo, 27 de mayo de 2012

Funciones polinomicas básicas:Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Funciones constantes

Rectas verticales

Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

Función Lineal

Funciones polinomicas básicas:
Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio: